Kelly-Kriterium

Das Kelly-Kriterium berechnet den optimalen Einsatzanteil pro Trade, der das langfristige geometrische Wachstum maximiert — bei bekannter Trefferquote und Gewinn/Verlust-Verhältnis.

Voll-Kelly schwankt brutal: in der Praxis handeln die meisten Profis Half- oder Quarter-Kelly, um Drawdowns erträglich zu halten — bei nur leicht reduziertem Wachstum. Schon 2× Kelly (Overbetting) führt fast sicher in den Ruin.

Genaue Definition

Gesucht ist der Anteil f des aktuellen Kapitals, der pro Trade riskiert wird, sodass die erwartete logarithmische Wachstumsrate g(f) = W · ln(1 + b · f) + (1 − W) · ln(1 − f) maximal wird. W ist die Trefferquote, b das Verhältnis von durchschnittlichem Gewinn zu durchschnittlichem Verlust. Setzt man die Ableitung von g(f) gleich null, ergibt sich die Formel oben. Das Kriterium geht auf John L. Kelly (1956) zurück; Edward Thorp hat es auf Glücksspiel und Märkte übertragen. Ist f* null oder negativ, hat die Strategie keinen positiven Erwartungswert, und der rechnerisch optimale Anteil ist null.

Rechenbeispiel

Rechenbeispiel mit frei gewählten Werten: Trefferquote W = 50 %, der durchschnittliche Gewinn ist 1,5-mal so groß wie der durchschnittliche Verlust (b = 1,5). Dann ist f* = 0,5 − 0,5 / 1,5 ≈ 0,167, also rund 16,7 % des Kapitals als Verlustrisiko je Trade. Setzt man die Werte in g(f) ein, erreicht Half-Kelly (f ≈ 0,083) etwa 75 % der Wachstumsrate von Voll-Kelly. Beim doppelten Kelly-Anteil (f ≈ 0,333) gilt g = 0,5 · ln(1,5) + 0,5 · ln(2/3) = 0: Das Kapital wächst langfristig nicht mehr, obwohl jeder einzelne Trade einen positiven Erwartungswert hat. Oberhalb davon wird g negativ, und das Kapital schrumpft auf lange Sicht fast sicher. Daher kommt die Warnung vor Overbetting.

Umsetzung in Code und Backtest

In einem Trading-Bot ist f* der Anteil des Kapitals, der bis zum Stop verloren gehen darf, nicht der Positionswert. Die Stückzahl folgt deshalb aus f · Kapital / (Stop-Abstand · Wert je Punkt), wie bei jeder Positionsgröße mit festem Risikoanteil. W und b sollten aus Trades stammen, die nicht zur Optimierung der Strategie benutzt wurden, etwa aus einem Walk-Forward-Test. Dazu gehören eine Untergrenze bei null (kein Trade bei negativem f*) und eine feste Obergrenze, die der Code unabhängig von der Schätzung erzwingt.

Ein typischer Fehler: W und b werden aus demselben Backtest geschätzt, in dem auch die Parameter optimiert wurden. Die Schätzung fällt dann zu optimistisch aus, und weil Kelly einen überschätzten Vorteil direkt in eine größere Position übersetzt, landet der Bot systematisch über dem eigentlichen Kelly-Anteil. Ein zweiter Fehler ist das Vermischen zweier Formeln: Die Variante mit Trefferquote und Gewinn-zu-Verlust-Verhältnis liefert einen Risikoanteil, die stetige Variante f* = μ / σ² für Renditen (μ: erwartete Überrendite, σ²: Varianz der Renditen) dagegen den Anteil des Kapitals, der investiert wird, also einen Hebel auf den Positionswert. Wer das eine Ergebnis wie das andere verwendet, liegt um ein Vielfaches daneben.

Grenzen und Missverständnisse

Kelly setzt voraus, dass W und b bekannt und stabil sind. Im Trading sind beide Schätzungen mit Unsicherheit, und Marktphasen ändern sich. Kelly begrenzt außerdem nicht die Tiefe der Zwischenverluste. In der stetigen Näherung fällt das Kapital mit der Wahrscheinlichkeit x^(2/c − 1) irgendwann auf den Anteil x des Startwerts, wobei c der gewählte Bruchteil von Kelly ist: Auf die Hälfte fällt es bei Voll-Kelly mit 50 %, bei Half-Kelly mit 12,5 % Wahrscheinlichkeit. Gleichzeitig offene, korrelierte Positionen dürfen nicht einzeln mit Kelly bemessen werden, weil sich ihre Risiken addieren. Kelly ist deshalb eher eine Obergrenze als eine Zielgröße, und das Risk of Ruin der gewählten Größe sollte zusätzlich geprüft werden, etwa per Monte-Carlo-Simulation. Vertiefung: Position-Sizing-Modelle im Vergleich und Risk of Ruin berechnen; eigene Werte lassen sich im Kelly-Kriterium-Rechner durchspielen.