Expected Shortfall: die bessere VaR-Alternative.

Expected Shortfall — auch Conditional Value at Risk oder CVaR genannt — beantwortet genau die Frage, vor der sich VaR drückt: Wie schlimm ist es, wenn es schlimm wird? Seit Basel III bevorzugen Aufseher ES gegenüber VaR. Es gibt gute Gründe dafür, aber auch ein paar Fallstricke, die man kennen sollte, bevor man die Kennzahl produktiv einsetzt.

Vom VaR zum ES — was sich ändert.

VaR ist die Grenze, ab der schlechte Tage anfangen. ES ist der Durchschnittsverlust an genau diesen schlechten Tagen. Konkret: der 97,5 %-ES ist der Erwartungswert der schlechtesten 2,5 % aller Tagesverluste. Damit greift ES in die Verteilung hinein, statt nur an einer Stelle abzulesen.

Mathematisch ist ES ein kohärentes Risikomaß. Subadditivität, monotonie, translationsinvarianz, positive homogenität — alle Axiome erfüllt. Diversifikation reduziert ES garantiert. Bei VaR ist das nicht der Fall.

Berechnung in der Praxis.

Die historische Variante ist erfreulich einfach: alle Renditen sortieren, die schlechtesten α-Prozent nehmen, davon den Mittelwert bilden.

import numpy as np
import pandas as pd

def historical_es(returns: pd.Series, alpha: float = 0.975,
                  portfolio_value: float = 1_000_000):
    """Expected Shortfall (historisch). Returns als Tagesrenditen."""
    # VaR-Schwelle bestimmen
    var_quantile = np.quantile(returns, 1 - alpha)
    # Alle Renditen unterhalb der Schwelle einsammeln
    tail_losses = returns[returns <= var_quantile]
    # Mittelwert der Tail-Verluste = ES
    es = -tail_losses.mean() * portfolio_value
    return es

def historical_var_es_report(returns: pd.Series, alpha: float = 0.975,
                             portfolio_value: float = 1_000_000):
    var_q = np.quantile(returns, 1 - alpha)
    var = -var_q * portfolio_value
    es = -returns[returns <= var_q].mean() * portfolio_value
    return {"VaR": var, "ES": es, "ES/VaR": es / var}

Das Verhältnis ES/VaR ist ein nützlicher Indikator: bei normalverteilten Renditen liegt es nahe 1,25 (bei 97,5 %). Liegt es höher, hat die Verteilung dicke Tails — ES zeigt mehr Risiko, als VaR vermuten lässt.

Parametrischer ES.

Unter Normalverteilungsannahme gibt es eine geschlossene Formel. Die ist schnell implementiert, hat aber den gleichen Schwachpunkt wie der parametrische VaR: an den Tails liegt die Normalverteilung daneben.

from scipy import stats

def parametric_es_normal(mu: float, sigma: float, alpha: float = 0.975,
                         portfolio_value: float = 1_000_000):
    """ES unter Normalverteilung — geschlossene Formel."""
    z = stats.norm.ppf(1 - alpha)
    # ES-Formel: mu - sigma * phi(z) / (1 - alpha)
    es_return = -(mu - sigma * stats.norm.pdf(z) / (1 - alpha))
    return es_return * portfolio_value

def parametric_es_t(mu: float, sigma: float, df: float,
                    alpha: float = 0.975, portfolio_value: float = 1_000_000):
    """ES unter t-Verteilung — fängt Fat Tails deutlich besser."""
    t_q = stats.t.ppf(1 - alpha, df)
    pdf_val = stats.t.pdf(t_q, df)
    factor = (df + t_q**2) / (df - 1)
    es_return = -(mu - sigma * pdf_val * factor / (1 - alpha))
    return es_return * portfolio_value

Wer parametrischen ES rechnen will, sollte ernsthaft prüfen, ob nicht eine t-Verteilung passender ist. Drei bis sechs Freiheitsgrade fangen die Realität vieler Aktien- und Multi-Asset-Portfolios deutlich besser ein als die Normalverteilung.

Backtesting von ES.

Das war lange das Gegenargument: ES sei „nicht elicitable" und damit schwerer zu testen als VaR. Inzwischen gibt es robuste Verfahren — Acerbi-Szekely-Tests etwa prüfen, ob die durchschnittlichen tatsächlichen Verluste an Verletzungstagen mit der ES-Prognose vereinbar sind.

In der Praxis empfehlen wir einen kombinierten Ansatz: erst Kupiec-Test auf die VaR-Verletzungen, dann Acerbi-Szekely auf die Höhe der Verletzungen. Beide Tests zusammen geben ein belastbares Bild.

ES in Basel III und der Trading Book Review.

Mit der Fundamental Review of the Trading Book hat der Basler Ausschuss ES als primäres Risikomaß für interne Modelle definiert. Statt 99 %-VaR über 10 Tage rechnen Banken jetzt 97,5 %-ES über skalierte Liquiditätshorizonte. Das ist kein kosmetischer Wechsel — die regulatorische Kapitalanforderung verändert sich messbar.

Auch wer nicht reguliert ist, profitiert von der Umstellung: ES diszipliniert das Denken über das, was im Schlechtfall wirklich passiert. Position-Sizing mit ES-Limit verhindert die berüchtigte „Pickup-Strategie", bei der man kleine, häufige Gewinne mit seltenen, riesigen Verlusten erkauft. VaR übersieht solche Strategien — ES nicht.

Wo ES an Grenzen stößt.

Erstens: Datenhunger. ES schaut tief in den Tail. Bei 97,5 % brauchen Sie für eine stabile Schätzung deutlich mehr Tage als für VaR — sonst hängt die Zahl an wenigen Extremtagen. Bootstrap-Konfidenzintervalle sind hier Pflicht, kein Luxus.

Zweitens: Modellrisiko bei Nichtlinearitäten. Optionen können sich im Tail anders verhalten als unterstellt — wer ES aus Delta-Gamma-Approximationen rechnet, riskiert systematische Unterschätzung des Konvexitätsbeitrags. Volle Bewertung im Monte-Carlo- Setup ist sauberer.

Drittens: ES ist nur so gut wie das Modell für die Tail-Verteilung. Wer historische Daten ohne Krisenfenster nutzt, bekommt einen schönen, aber unbrauchbaren ES. Ein Mindestmaß an Stress-Szenarien gehört in jedes ES-Setup.

Wie wir ES einsetzen.

Bei uns ist 97,5 %-ES auf 250 Tagen die Standard-Limit-Kennzahl, ergänzt um einen zweiten ES auf einem 2.500-Tage-Fenster mit Stresstagen. Das Verhältnis der beiden zeigt, wie weit die aktuelle Markthistorie vom Stressniveau abweicht. Steigt das Verhältnis, ziehen wir Positionen automatisch zurück.

ES ist kein Ersatz für gesunden Menschenverstand. Aber als zentrale Kennzahl in einem Risikoset ist sie VaR überlegen — vor allem dann, wenn Sie Strategien mit asymmetrischen Auszahlungen handeln. Wer Premium verkauft, sollte ES kennen, lieben und fürchten.

Sie wollen Ihre Risk-Limits von VaR auf ES umstellen oder ein bestehendes Setup kritisch durchleuchten lassen? Erstgespräch buchen — wir bauen ein ES-Framework mit Backtest und Stress-Komponente.